Z transformacja średnia

Wprowadzenie do filtrowania.9 3 1 Wprowadzenie do filtrowania W dziedzinie przetwarzania sygnałów projektowanie cyfrowych filtrów sygnałów obejmuje proces tłumienia pewnych częstotliwości i wzmacniania innych uproszczony model filtru jest tam, gdzie sygnał wejściowy jest modyfikowany, aby uzyskać wyjście z zastosowaniem wzoru rekurencyjnego. Implementacja 9-23 jest prosta i wymaga jedynie wartości początkowych, a następnie jest uzyskiwana przez proste powtórzenie. Ponieważ sygnały muszą mieć punkt wyjścia, często wymaga tego, a my podkreślamy tę koncepcję, zgodnie z definicją. Definicja 9 3 Sekwencja przyczynowa Biorąc pod uwagę sekwencje wejściowe i wyjściowe Jeśli sekwencja ta jest przyczynowa. Przyczynia się sekwencję przyczynową, łatwo obliczyć rozwiązanie do 9-23 Użyj faktu, że te sekwencje są przyczyny. Ogólnym krokiem iteracyjnym jest 9 3 2 Podstawowe filtry Następujące trzy uproszczone podstawowe filtry służą jako ilustracje. i Zeroing Out Filter, pamiętaj, że. ii Zwiększanie filtra, pamiętaj, że. iii Filtr kombinowany. Funkcja transferu dla tych filtrów modelu ma następującą ogólną formę. Gdzie z-transformacje sekwencji wejściowych i wyjściowych są i, odpowiednio W poprzednim rozdziale wspomnieliśmy, że ogólne rozwiązanie równomiernego równania różniczkowego jest stabilne jeśli zera tego równania charakterystycznego leży wewnątrz koła jednostkowego Podobnie, jeśli filtr jest stabilny, bieguny funkcji przenoszenia muszą leżeć we wnętrzu koła jednostkowego. Przed opracowaniem ogólnej teorii chcielibyśmy zbadać odpowiedź amplitudy, gdy sygnał wejściowy jest kombinacją liniową i Odpowiedź amplitudy częstotliwości wykorzystuje złożony sygnał jednostkowy i jest zdefiniowany jako. Wzór na będzie rygorystycznie wyjaśniony po kilku wstępnych przykładach. Przykład 9 21 Biorąc pod uwagę filtr.9 21 a Show że jest to filtr zerujący dla sygnałów i oblicza odpowiedź amplitudy.9 21 b Obliczyć odpowiedzi amplitudy i zbadać filtrowaną signą l9.9 c Obliczyć odpowiedzi amplitudy i zbadać przefiltrowany sygnał dla. Rysunek 9 4 Odpowiedź amplitudy dla: Rysunek 9 5 Wejście i wyjście. Rysunek 9 6 Wejście i wyjście. Explore Solution 9 21. Przykład 9 22 Biorąc pod uwagę filtr.9 22 a Pokaż, że jest to filtr wzbogacający sygnały i obliczyć odpowiedź amplitudy.9 22 b Obliczyć odpowiedzi amplitudy i zbadać przefiltrowany sygnał dla Fig. 9 7 Odpowiedź amplitudy dla Figury 9 8 Wejście i wyjście. Explore Solution 9 22.9 3 3 Ogólne równanie filtru. Ta ogólna forma równoważności różnicy różniczkowej filtra jest. I jest stałą Należy zwrócić uwagę, że zawarte w niej określenia mają formę i gdzie i, co sprawia, że ​​te terminy opóźnione Kompaktowa forma zapisu równania różniczkowego jest tam, gdzie sygnał wejściowy jest modyfikowany w celu uzyskania sygnału wyjściowego przy użyciu wzoru rekurencyjnego. Część zeruje sygnały zerowe i wzbudzi sygnał. Wzorzec 9 14 Formuła 9-31 nazywa się rekursy na równaniu i współczynnikach rekurencyjnych i Wyraźnie pokazuje, że obecne wyjście jest funkcją poprzednich wartości, dla, obecnego wejścia i poprzednich wejść dla sekwencji można uznać za sygnały i są zero dla ujemnych wskaźników Z tym informujemy, że możemy teraz zdefiniować ogólny wzór funkcji transferowej Używając właściwości delayed-shift dla sekwencji przyczynowych i przyjmując z-transformację każdego terminu w pozycjach 9-31. Możemy wyliczyć poza sumy i zapisać to w postaci równoważna forma. Z równania 9-33 otrzymujemy, co prowadzi do następującej ważnej definicji. Definicja 9 4 Funkcja transferu Funkcja transferu odpowiadająca równemu różnicy rzędu 8 jest przedstawiona przez. Formula 9-34 jest funkcją transferową dla nieskończonego impulsu Filtr odpowiedzi filtra IIR W szczególnym przypadku, gdy mianownik jest jednością, staje się funkcją transferu dla skończonego filtra odpowiedzi impulsowej filtru FIR. Określenie 9 5 Odpowiedź na jednostkę próbki Seque nce odpowiadające funkcji transferu nazywa się odpowiedzią na jednostkę-próbkę. Twierdzenie 9 6 Reakcja wyjściowa Odpowiedź wyjściowa filtra 10 otrzymana z sygnału wejściowego jest podana przez odwrotną transformację z. i w postaci splotu jest podana przez ważnym zastosowaniem funkcji transferu jest zbadanie, w jaki sposób filtr wpływa na różne częstotliwości W praktyce pobierany jest ciągły sygnał czasowy z częstotliwością co najmniej dwukrotnie wyższą częstotliwością sygnału wejściowego, aby uniknąć zwijania częstotliwości lub aliasingu Transformacja Fouriera próbki sygnału jest okresowa z okresem, choć nie udowodnimy tego w tym miejscu Aliasing zapobiega dokładnemu odzyskiwaniu pierwotnego sygnału z jego próbek. Teraz można wykazać, że argument mapy przekształcenia Fouriera na płaszczyznę z płaszczyzny z poprzez formułę. 9-37, gdzie nazywa się znormalizowaną częstotliwością. Dlatego też transformat Z z oceną na okręgu jednostkowym jest również okresowy, z wyjątkiem okresu. Określenie 9 6 Odpowiedź amplitudy Odpowiedź amplitudy jest określona jako wielkość funkcji transferowej oszacowana na podstawie złożony sygnał jednostkowy Wzór jest. 9-38 w przeciągu interwału. Ta fundamentalne twierdzenie algebry oznacza, że ​​licznik ma korzenie zwane zerami, a mianownik ma korzenie zwane biegunami Zera może być wybrane w parach sprzężonych na okręgu jednostkowym, a dla stabilności wszystkie bieguny muszą znajdować się wewnątrz koła jednostkowego i dla biegunów wybrano liczbę rzeczywistą i / lub w parach sprzężonych Gwarantuje to, że współczynniki rekursji są liczbami rzeczywistymi Filtry IIR mogą być wszystkie biegunami lub biegunami zero, a stabilność dotyczy filtrów FIR i wszystkich zerowe filtry są zawsze stabilne.9 3 4 Projektowanie filtrów W praktyce formuła rekurencyjna 10 służy do obliczania sygnału wyjściowego Jednakże projekt cyfrowego filtra oparty jest na powyższej teorii Zaczynamy wybierając położenie zera i biegunów odpowiadających filtrowi wymagania konstrukcyjne i konstruowanie funkcji transferu Ponieważ współczynniki we są prawdziwe, wszystkie zera i bieguny mające składnik wymyślony muszą występować w parach sprzężonych Następnie współczynnik rekursji s są identyfikowane w 13 i wykorzystywane w 10 do zapisywania rekurencyjnego filtru Licznik i mianownik mogą być uwzględnione w czynnikach kwadratowych o rzeczywistych współczynnikach i ewentualnie jednym lub dwóch współczynnikach liniowych o rzeczywistych współczynnikach Następujące zasady są wykorzystywane do konstruowania. i Zeroing Out Factors. To odfiltrować sygnały i używać współczynników form. in. licznik pomogą im do tego terminu. ii Wzmacnianie czynników. Aby wzmocnić sygnały i zastosować czynniki w formularzu. Przetwarzanie cyfrowe w filtrach. Filtry cyfrowe są badanymi systemami Istotne sygnały wejściowe i wyjściowe są reprezentowane przez próbki z jednakową przerwą w czasie. Niekończone filtry impulsowe odpowiadają impulsom FIR przez odpowiedź czasową zależną tylko od określonej liczby ostatnich próbek sygnału wejściowego Innymi słowy, gdy sygnał wejściowy spadnie do zera, wyjście filtru zrobi to samo po określonej liczbie okresów próbkowania. Wyjście yk jest podane przez liniową kombinację ostatnich próbek wejściowych xk i. Współczynniki bi dają wagę kombinacji. Odpowiadają one również współczynnikom licznika funkcji transferu filtra z domenami. Poniższy rysunek przedstawia filtr FIR o kolejności N 1 Dla filtrów fazowych wartości współczynników są symetryczne wokół środkowej, a linia opóźniająca może zostać złożona dookoła tego środka, aby zmniejszyć liczbę multiplikatów jonami. Funkcja transferu filtrów FIR tylko pobiera licznik Odpowiada filtru zerowego. Filtry FIR zwykle wymagają dużych zamówień, w zakresie kilku setek Tak więc wybór tego rodzaju filtrów będzie wymagał dużej ilości sprzętu lub CPU Pomimo tego, jednym z powodów wyboru implementacji filtra FIR jest zdolność do uzyskania liniowej odpowiedzi fazowej, która może być konieczna w niektórych przypadkach Niemniej jednak projektant fiterów ma możliwość wyboru filtrów IIR o dobrej liniowości faz w pasma przepustowego, takiego jak filtry Bessel lub zaprojektowanie filtru allpass, aby skorygować odpowiedź fazy standardowego filtru IIR. Średnia średnica filtrów MA Edit. Moving Średnia modele MA to modele procesów w procesach form. MMA to alternatywna reprezentacja filtrów FIR. Średnia Filtry Edit. A filtr obliczyć średnią z ostatnich ostatnich próbek N sygnału. Jest to najprostsza forma filtra FIR, ze wszystkimi współczynnikami są równe. Każda funkcja przenoszenia aver Filtr wiekowy jest podawany przez funkcję transferu średniego filtra ma N równomiernie rozstawione zera wzdłuż osi częstotliwości Jednak zera w DC jest osłonięta przez biegun filtra W związku z tym istnieje większy płat DC, który odpowiada za filtr passband. Cascaded Integrator-Comb Filtry CIC Edit. A Kaskada integratora-filtr grzebieniowy CIC jest specjalną techniką wdrażania średnich filtrów umieszczonych w serii Umieszczenie średnich filtrów w serii zwiększa pierwszy pręt w DC w porównaniu do wszystkich innych płatów. Filtr CIC implementuje funkcję transferu N średnich filtrów, z których każda oblicza średnią próbek RM. Jednak funkcja transferu jest podana przez filtry C. CIC służą do decymacji liczby próbek sygnału o współczynnik R lub, w innych przypadkach, do resample sygnał z niższą częstotliwością, odrzucanie próbek R1 z R Współczynnik M wskazuje, ile liczby pierwszego płata jest wykorzystywane przez sygnał Liczba przeciętnych stopni filtracyjnych, N wskazuje, jak dobrze inne pasma częstotliwości tłumiony, kosztem mniej płaskiej funkcji transferu wokół DC. CIC struktury pozwala na wdrożenie całego systemu tylko adders i rejestrów, nie używając mnożników, które są chciwe w zakresie hardware. Down próbkowania przez współczynnik R pozwala zwiększyć rozdzielczość sygnału przez log 2 bity RR. Canoniczne filtry Edit. Canoniczne filtry implementują funkcję przesuwania filtra z pewną liczbą elementów opóźnienia równą kolejności filtra, jeden mnożnik na współczynnik licznika, jeden mnożnik na każdy mianownik współczynnik i szereg adderów Podobnie jak aktywnych filtrów struktur kanonicznych, tego typu obwody okazały się bardzo wrażliwe na wartości elementów niewielka zmiana współczynników miała duży wpływ na funkcję transferu. Tutaj też, projekt aktywnych filtrów przesunął się z filtrów kanonicznych na inne struktury, takie jak łańcuchy sekcji drugiego rzędu lub filtrów leapfrog. Druga kolejność sekcji Edytuj. Druga sekcja zamówienia często określana jako narzędzia biquad jako funkcja przeniesienia zlecenia econd Funkcja transferu filtra może być podzielona na produkt funkcji transferu, z których każdy jest powiązany z parą biegunów i ewentualnie z parą zer. Jeśli kolejność funkcji przesyłania jest nieparzysta, należy dodać sekcję pierwszego rzędu do łańcucha Ta sekcja jest skojarzona z prawdziwym biegunem i rzeczywistym zerem, jeśli istnieje jedna. bezpośrednia forma 1.direct-form 2.direct-form1 transposed. direct-form2 transponowana. forma bezpośrednia 2 transponowana poniższa figura jest szczególnie interesująca pod względem wymaganego sprzętu, a także kwantyzacji sygnału i współczynników. Filtr Leapfrogu Edytuj. Struktura filtru. Edytuj. Filtry leapfrogu zasadniczego bazują na symulacji analogowych filtrów aktywnego leapfrogu. Zachętą do tego wyboru jest dziedziczyć doskonałe właściwości czułości pasma pierwotnego obwodu drabinkowego. Następujący 4-rzędny all-biegunowy filtr dolnoprzepustowy może być zaimplementowany jako obwód cyfrowy, zastępując analogowe integratory z accumulato r. Montaż integratorów analogowych z akumulatorami upraszcza transformację Z do z 1 s T, które są dwoma pierwszymi warunkami serii Taylor zexps T To przybliżenie jest wystarczająco dobre dla filtrów, gdzie częstotliwość próbkowania jest znacznie wyższa niż sygnał szerokość pasma. Funkcja Przeniesienie Edycji. Przedstawienie przestrzeni stanu poprzedniego filtru można zapisać jako. Z tego zestawu równań można pisać macierze A, B, C, D. Z tego przedstawienia narzędzia do przetwarzania sygnałów, takie jak Octave lub Matlab pozwalają na sporządzenie odpowiedzi na częstotliwość filtra lub zbadanie jej zer i biegunów. W cyfrowym filtrze żucia, względne wartości współczynników ustawiają kształt funkcji transferowej Butterworth Chebyshev, podczas gdy ich amplitudy ustawiają częstotliwość odcinania Dzielenie wszystkich współczynników przez współczynnik dwóch przesunięć częstotliwości odcięcia o jedną oktawę również współczynnik dwóch. Szczególnym przypadkiem jest filtr zamówieniowy Buterworth 3, który ma stałe czasowe o wartościach względnych z 1, 1 2 i 1 Z tego powodu ten filtr może być zaimplementowany w sprzęcie bez jakiegokolwiek mnożnika, ale zamiast przesunięć używać filtrów. Filtry energooszczędne AR Edit. Autorektywne modele AR są modelami procesu w postaci. W przypadku, gdy un jest wyjściem modelu , xn jest wejściem modelu, a un - m są poprzednimi przykładami wartości wyjściowej modelu Filtry te nazywane są autoregresją, ponieważ wartości wyjściowe są obliczane na podstawie regresji poprzednich wartości wyjściowych Procesy AR mogą być reprezentowane przez cały biegun filtr Filtry ARMA EditAroregressive Ruchome średnie filtry ARMA są kombinacjami filtrów AR i MA Wyjście filtru jest podawane jako liniowa kombinacja zarówno ważonych wejść, jak i ważonych próbek wyjściowych. Procesy ARM można uznać za cyfrowy filtr IIR, z wieloma biegunami i zerami. AR są preferowane w wielu przypadkach, ponieważ mogą być analizowane przy użyciu równań Yule-Walkera i procesów ARMA, z drugiej strony mogą być analizowane przez skomplikowane nieliniowe równań, które są trudne do zbadania i modelowania. Jeśli mamy proces AR z współczynnikami wagi aa wektora a, a - 1 wejście xn i wyjście yn możemy użyć równań yule-walkera Mówimy, że x 2 jest wariancją sygnału wejściowego Traktujemy sygnał danych wejściowych jako sygnał losowy, nawet jeśli jest to sygnał deterministyczny, ponieważ nie wiemy, jaka będzie wartość, dopóki nie otrzymamy. Możemy wyrazić równanie Yule-Walkera jako. Gdzie R jest macierzą korelacji krzywej wyjściowej procesu. A r jest matrycą autokorelacji wyjścia procesu. ZmiennośćWykształcenie Edytuj. Możemy pokazać, że. Możemy wyrazić wariancję sygnału wejściowego jako. r, rozszerzając i zastępując w dla r 0 możemy odnieść wariancję wyjściową procesu do wariancji wejściowej. Transformacja Z i zaawansowana transformata Z zostały wprowadzone przez firmę EI Jury w 1958 r. w Sampled-Data Control Systems John Wiley Sons. Pomysł zawarty w Transformacja Z była wcześniej znana jako generator f metoda odchylania. Z-transform jest nazwą zastępczą, podobną do wywołania Laplace'a transformującego transformatę s bardziej dokładną transformacją Laurenta, ponieważ jest oparta na serii Laurent Jednostronna transformata Z ma na celu odrębne sygnały w domenie czasu, co to jest transformata Z, podobnie jak wiele innych przekształceń całkowych, może być definiowana jako jednostronna lub dwustronna transformacja. Boboczna transformata Z. Dwustronny lub dwustronny Z - transformacja sygnału dyskretnego xn jest funkcją X z określoną jako. gdzie n jest liczbą całkowitą, a z ogólnie liczbą zespoloną. gdzie A jest wielkością z i jest częstotliwością kątową w radianach na próbkę. Jednostronne Transformat Z. Alternatywnie, w przypadkach, w których xn jest zdefiniowany tylko dla n 0, jednostronny lub jednostronny transformat Z jest zdefiniowany jako. W przetwarzaniu sygnału ta definicja jest używana, gdy sygnał jest przyczynowy. Ważnym przykładem jednostronnego Z - transform jest funkcją generującą prawdopodobieństwo gdzie składnik xn jest prawdopodobieństwem, że dyskretna zmienna losowa przyjmuje wartość n, a funkcja Xz jest zwykle zapisywana jako X s w kategoriach sz 1 Właściwości przekształceń Z poniżej mają użyteczne interpretacje w kontekście teorii prawdopodobieństwa. Odwrotna transformata Z. Odwrotna transformata Z jest gdzieś w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara ścieżką zamkniętą otaczającą początek i całkowicie w obszarze zbieżności ROC Kontur lub ścieżka, musi otoczyć wszystkie bieguny. Specjalny przypadek tego zintegrowanego konturu to jest po prostu, gdzie jest okrąg jednostkowy i może być użyty, gdy ROC zawiera koło jednostkowe jest odwrotną transformacją Fouriera Czas Fouriera. Transformat Z o skończonym zakresie n i skończoną liczbę równomiernie rozmieszczonych wartości z można efektywnie obliczyć za pomocą algorytmu FFT w systemie Bluestein Dyskretna transformata Fouriera DFT jest szczególnym przypadkiem takiego przekształcenia Z uzyskanego przez ograniczenie z do leżenia na okręgu jednostkowym. Region konwergencji. Region konwergencji ROC jest miejscem, w którym Transformacja Z sygnału ma skończoną sumę dla obszaru w płaszczyźnie zespolonej. Przykład 1 Nie ROC. Let Rozwinięcie się staje. Patrząc na sumę. Nie ma takich wartości, które spełniają ten warunek. przykład 2 przyczynowym ROC. Niech gdzie znajduje się krok Heaviside Rozszerzenie na to staje się. Patrząc na sumę. Ostatnia równość powstaje z nieskończonej serii geometrycznej, a równość zachowuje się tylko, jeśli może być przepisana jako taki, ROC jest W tym przypadku ROC jest płaszczyzną złożoną z tarczą o promieniu 0 na początku wykręconego pierwiastka. Przykład 3 antybiotyk ROC. Na miejscu, gdzie jest funkcja kroku Heaviside Rozwinięcie się staje się. Patrząc na sumę. Wykorzystując nieskończoną geometryczną serię, równość tylko trzyma jeśli to może być przepisane jako takie, to ROC jest W tym przypadku ROC jest tarczą centrowaną w punkcie wyjściowym i promieniu 0 5. Przykłady konkluzji. ​​Przykłady 2 3 jasno pokazują, że transformat Z jest unikatowy kiedy i tylko przy określaniu ROC Tworzenie wykresu zero-biegunowego dla sprawa przyczynowa i antywirusowa wskazują, że ROC dla każdego przypadku nie obejmuje słupa, który wynosi 0 5 Rozciąga się to na przypadki wielokrotnych biegunów ROC nigdy nie będzie zawierać biegunów. W przykładzie 2, system przyczynowy daje ROC, który zawiera, podczas gdy antybiotyk system w przykładzie 3 daje ROC, który zawiera. W układach z wieloma biegunami możliwe jest posiadanie ROC, który nie zawiera ani ROC tworzy okrągły pasek Na przykład ma bieguny przy 0 5 i 0 75 ROC, który obejmuje ani pochodzenie, ani nieskończoność Taki system nazywany jest systemem mieszańsko-causalitycznym, ponieważ zawiera on określenie przyczynowe i termin antybiotykowy. Stabilność systemu może być również określona znając sam ROC. Jeśli ROC zawiera okrąg jednostkowy, tzn. system jest stabilny W powyższych systemach przyczynowych system jest stabilny, ponieważ zawiera okrąg jednostkowy. Jeśli dostarczono transformatę Z systemu bez ROC, tj. niejednoznaczny, możesz określić unikalny, jeśli chcesz tego. Jeśli chcesz a następnie ROC musi zawierać koło jednostkowe Jeśli potrzebujesz systemu przyczynowego, wówczas ROC musi zawierać nieskończoność Jeśli potrzebujesz systemu antybiotykowego, ROC musi zawierać pochodzenie. Są unikalne można wtedy znaleźć. Liniowość Z-transformacja liniowa kombinacja dwóch sygnałów jest liniową kombinacją pojedynczych transformatów Z. Przesunięcie czasowe przeskoku sygnału o odległość k do właściwych wyników mnożenia Z - transform przez zk. Conwolucja Z - transforma splotu dwie sekwencje są produktem poszczególnych transfor - mów typu Z. Różnicowe różnice. Wartość wspólnych par transformatorów Z.